Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠B=30°，E是BC上一點，且∠CED=60°，若AD=1，BE=4，求AB的長．

Answer 1

分析：過點D作DF∥AB交BC于點F，根據梯形的性質可以得到四邊形ABFD是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質得到BF=AD=1，AB=DF，接著利用已知條件得到EF，而由DF∥AB可以推出∠DFC=∠B=30°，再在Rt△DFC中和在Rt△DEC中利用三角函數可以建立關于CE的方程，解方程求出CE，接著利用三角函數的定義就可以求出AB．

解答：解：過點D作DF∥AB交BC于點F，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABFD是平行四邊形
∴BF=AD=1，AB=DF
∴FE=BE-BF=4-1=3，
∵DF∥AB，
∴∠DFC=∠B=30°，
在Rt△DFC中，DC=FC•tan30°=

3

3

FC，
在Rt△DEC中，DC=EC•tan60°=

3

EC，
∴

3

3

FC=

3

EC，
∴

3

3

(3+EC)=

3

EC，
∴EC=

3

2

，
∴AB=DF=

FC

cos30°

=

3+ 3 2

3 2

=3

3

．

點評：此題主要考查了梯形的常用輔助線：平移梯形的腰，把梯形的問題轉換成平行四邊形和直角三角形的問題，然后利用解直角三角形的知識解決問題．