Question

如圖是小紅設計的鉆石形商標，△ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）證明：△ABE≌△CBD；
（2）圖中存在多對相似三角形，請你找出一對進行證明，并求出其相似比（不添加輔助線，不找全等的相似三角形）；
（3）小紅發現AM=MN=NC，請證明此結論；
（4）求線段BD的長．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等邊三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四邊形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD；
（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；
（3）由（2）的結論得

AN

CN

=

AB

CD

=2，即CN=

1

3

AC，同理，得AM=

1

3

AC，可證AM=MN=NC；
（4）作DF⊥BC交BC的延長線于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°．　（1分）
∵四邊形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，
即∠BAE=∠BCD．（2分）
在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD．（3分）

（2）解：存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．
證明：∵△ABE≌△CBD，
∴∠ABE=∠CBD，
∴∠BAC+∠ABE=∠BCA+∠CBD，
∴∠ANB=∠DNC，
又∵∠BAN=60°=∠DCN，
∴△ANB∽△CND．（5分）
其相似比為：

AB

DC

=

2

1

=2；（6分）

（3）解：由（2）得

AN

CN

=

AB

CD

=2，
∴CN=

1

2

AN=

1

3

AC，（8分）
同理AM=

1

3

AC，
∴AM=MN=NC．（9分）

（4）解：作DF⊥BC交BC的延長線于F，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=60°．（1O分）
在Rt△CDF中，∴∠CDF=30°，
∴CF=

1

2

CD=

1

2

，
∴DF=

CD2-CF2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

；　（11分）
在Rt△BDF中，∵BF=BC+CF=2+

1

2

=

5

2

，DF=

3

2

，
∴BD=

BF2+DF2

=

( 5 2 )2+( 3 2 )2

=

7

．（12分）

點評：本題考查了相似三角形、全等三角形的判定與性質，特殊三角形，等腰梯形的性質，勾股定理的運用．關鍵是根據等邊三角形，等腰梯形的特殊性質得出平行線，構造直角三角形，利用勾股定理解題．