Question

如圖所示，已知：在⊙O中，BC=4，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，∠C=30°．
（1）求圖中扇形OAB的面積；
（2）若用扇形OAB圍成一個圓錐側面，求這個圓錐的底面圓的半徑．

Answer 1

解：（1）在⊙O中，∵∠C=30°，
∴∠BOD=2∠C=60°，
∵直徑CD⊥弦AB，
∴=，
∴∠AOB=2∠BOD=2×60°=120°，（2分）
過點O作OF⊥BC于F．
∵BC=4，
∴BF=BC=×4=2，
設FO的長為x，則OB=2x，
在Rt△BOF中，由勾股定理得：
4x²-x²=（2）²，
解得x=2，
∴OB=2x=4，（4分）
∴S_扇形OAB=（120π×4^2_）÷360=，
或S_扇形OAB=（240π×4²）÷360=；（5分）

（2）設圓錐的底面半徑為r，
則4πr=或4πr=，
r=或r=，（9分）
答：（1）圖中扇形OAB的面積為或；
（2）所求圓錐的底面半徑為r=或r=．（10分）
分析：（1）過點O作OF⊥BC于F，求得BC的長后再求得BF的長，由勾股定理求得OB的長后即可求面積；
（2）利用扇形的面積公式計算其底面半徑即可．
點評：本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是正確的理解圓錐的側面展開扇形及弧長之間的關系．