Question

（2006•荊州）AB是⊙O的直徑，P是⊙O外一點，作PC⊥AB于C，PB交⊙O于D，DC交⊙O于E，EB與PC的延長線交于F，連接AE．上有一動點M，連接PM，AM．
（1）∠AEB的度數是______，根據是______．如果，弦ED=3cm，⊙O的半徑為2cm．則cos∠MAB=______．
（2）求證：PC•CF=EC•CD．
（3）若AM交PC于G，△PGM滿足什么條件時，PM與⊙O相切？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角；可得∠AEB=90°；根據余弦函數的定義可得cos∠MAB=，代入數據可得答案；
（2）根據題意易得△ECF∽△PCD，可得比例關系，進而可得答案；
（3）要使PM與⊙O相切，只需使OM⊥PM，根據角與角的關系可得當∠PGM=∠PMG或PG=PM時成立．
解答：（1）解：90°；直徑所對的圓周角是直角；（3分）

（2）證明：∵PC⊥AB，
∴∠CPD=90°-∠ABP=90°-∠AED又∠AEB=90°
∴∠CEF=90°-∠AED∴∠CPD=∠CEF（4分）
∵∠ECF=∠PCD
∴△ECF∽△PCD
∴
∴PC•CF=EC•CD（6分）

（3）解：∠PGM=∠PMG（PG=PM）時，PM與⊙O相切．（7分）
連接OM
∵PC⊥AB
∴∠BAM+∠AGC=90°
∵∠AGC=∠PGM=∠PMG
∵∠BAM=∠OMA
∴∠OMA+∠PMG=90°
即OM⊥PM，M在⊙O上
∴PM與⊙O相切．（10分）
點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定、三角函數的定義與求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．