Question

如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP=4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α=（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

分析：設點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，當點E、F在CD上時，△PEF的周長為PE+EF+FP=CD，此時周長最小，根據CD=4可求出α的度數．

解答：解：如圖，作點P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時，△PEF的周長最小．
連接OC，OD，PE，PF．
∵點P與點C關于OA對稱，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，
∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，
∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等邊三角形，
∴2α=60°，
∴α=30°．
故選A．

點評：此題主要考查了最短路徑問題，本題找到點E和F的位置是解題的關鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉化為一條線段，運用三角形三邊關系解決．