Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=6,BC=8,動點P從點A開始,沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動,動點D從點A開始,沿邊AB向點B以每秒個單位長度的速度運動,且恰好能始終保持連結兩動點的直線PD⊥AC,動點Q從點C開始,沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動,連結PQ.點P,D,Q分別從點A,C同時出發,當其中一點到達端點時,另兩個點也隨之停止運動,設運動時間為t秒(t≥0).

(1)當t為何值時,四邊形BQPD的面積為△ABC面積的?

(2)是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形?若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

(3)是否存在t的值,使四邊形PDBQ為菱形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由,并探究如何改變點Q的速度(勻速運動)，使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）不存在；當點Q的速度為每秒個單位長度時，經過秒，四邊形PDBQ是菱形.

【解析】

(1)首先表示出四邊形面積以及求出三角形面積，列方程求解即可；

(2)由BQ//DP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，由此可得關于t的方程，解方程即可得；

(3)利用(2)中所求，即可求得此時DP與BD的長，由DP≠BD，可判定平行四邊形PDBQ不能為菱形，然后設點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程求解即可.

(1)∵直線PD⊥AC，

∴∠APD=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠C=∠APD，

∴PD//BC，

在Rt△APD中，AD=，AP=t，

∴PD=，PC=AC-AP=6-t，

∵CQ=2t，BC=8，

∴BQ=8-2t，

∴四邊形BQPD的面積為：(BQ+DP)×PC=(8-2t+t)(6-t)，

△ABC的面積為：ACBC=×6×8=24，

∴四邊形BQPD的面積為△ABC面積的時，×24=(8-2t+t)(6-t)，

解得：，

∵當其中一點到達端點時，另兩個點也隨之停止運動，

∴t≤4，

∴不合題意，舍去，

∴當t為時，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的；

(2)存在，

∵PD//BC，

∴BQ//DP，

∴當BQ=DP時，四邊形PDBQ是行四邊形，

即8-2t=，解得：t=，

∴存在，t=時，四邊形PDBQ為平行四邊形；

(3)不存在，理由如下：

當時，，

∴DP≠BD，

∴平行四邊形PDBQ不能為菱形；

設點Q的速度為每秒v個單位長度，

則BQ=8-vt，PD=，BD=10-，

要使四邊形PDBQ成為菱形，則PD=BD=BQ，

當PD=BD時，即，解得：t=，

當PD=BQ，t=時，即，解得：v=，

所以當點Q的速度為每秒個單位長度時，經過秒，四邊形PDBQ是菱形.