Question

（2013•高淳縣一模）已知二次函數y=x²-mx+m-2．
（1）求證：無論m為任何實數，該二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）若該二次函數的圖象過點（-1，3）．
①求該二次函數的關系式，并寫出它的頂點坐標；
②在平面直角坐標系中畫出該二次函數的圖象；
③直接寫出，當y＜0時x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x²-mx+m-2=0，根據該一元二次方程的根的判別式△=m²-4（m-2）的符號來證明二次函數y=x²-mx+m-2的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）①把點（-1，3）代入二次函數解析式y=x²-mx+m-2列出關于m的方程，通過解方程即可求得m的值；然后利用配方法將所求的二次函數解析式轉化為頂點式解析式；
②根據拋物線與坐標軸的交點、頂點坐標，在平面直角坐標系中畫出圖形；
③根據圖象直接寫出x的取值范圍．

解答：（1）證明：∵△=m²-4（m-2）=m²-4m+4+4=（m-2）²+4≥4＞0，
∴x²-mx+m-2=0一定有兩個不等的實數解，
∴無論m為任何實數，該二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；

（2）解：①把x=-1，y=3，代入y=x²-mx+m-2，解得m=2，
則二次函數的關系式為y=x²-2x．
配方得y=（x-1）²-1，所以，頂點坐標為（1，-1）．  
②根據拋物線解析式y=x²-2x=x²-2x知，該圖象與坐標軸軸的交點是（0，0），（0，2），頂點坐標是（1，-1）．所以其圖象如圖所示：
；

③根據②中的圖象知，當y＜0時，x的取值范圍為：0＜x＜2．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數的性質與圖象，待定系數法求二次函數解析式等．在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．