Question

19、如圖1，有一個面積為1的正方形，經過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，如圖2，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形．再經過一次“生長”后，變成圖3；“生長”10次后，4．如果繼續“生長”下去，它將變得更加“枝繁葉茂”．

（1）隨著不斷的“生長”，形成的圖形中所有正方形的面積和也隨之變化．若生長n次后，變成的圖中所有正方形的面積用S_n表示，則S_n=

n+1

；
（2）S₀=

1

，S₁=

2

，S₂=

3

，S₃=

4

；
（3）S₀+S₁+S₂+…+S₁₀=

66

．

Answer 1

分析：根據勾股定理，發現：經過一次生長后，兩個小正方形的面積和等于第一個正方形的面積，故經過一次生長后，所有正方形的積和等于2；依次類推，經過n次生長后，所有正方形的面積和等于第一個正方形的面積的（n+1）倍．

解答：解：（1）根據勾股定理以及正方形的面積公式，可以發現：經過n次生長后，所有正方形的面積和等于第一個正方形的面積的（n+1）倍．故為n+1；
（2）1，2，3，4；
（3）根據上述規律，得：原式=1+2+3+…+11=12×5+6=66．

點評：注意根據勾股定理發現規律，還要注意1+2+…+11的簡便計算方法，原式=12×5+6=66．