Question

如圖，四邊形ABCD是矩形紙片．
（1）把矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使AB邊落在矩形ABCD內(nèi)部，點(diǎn)B落在CD邊的點(diǎn)E處，折痕為AF，在圖中用尺規(guī)作出折疊后的圖形；（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）
（2）若點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，且CD=6，求折痕AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）折疊實(shí)際上是作軸對(duì)稱圖形，故根據(jù)對(duì)稱性先求得B在DC上的位置，在作∠BAE的平分線，交BC于F，連接AF、EF；即得△AEF；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AE=AB=CD=6，E是CD的中點(diǎn)，進(jìn)而可得∠BAF=∠EAF=30°；在Rt△ABF中，AF=2BF，由勾股定理，得AF²=AB²+BF²；代入數(shù)值，解可得AF=4．
解答：解：（1）第一步以A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交DC邊于點(diǎn)E，連接AE．
第二步作∠BAE的平分線，交BC于F，連接AF、EF，
則△AEF就是求作的圖形；（5分）

（2）由矩形的性質(zhì)和作圖可知AE=AB=CD=6，E是CD的中點(diǎn)，
∴CE=ED=3，∴sin∠DAE=，∴∠DAE=30°，∴∠BAF=∠EAF=30°，
在Rt△ABF中，AF=2BF，由勾股定理，得AF²=AB²+BF²，
∴（2BF）²=BF²+36，解得BF=±2，
因?yàn)锽F是線段長(zhǎng)，
∴BF=2，
∴AF=4．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)折疊變換考查學(xué)生的邏輯思維能力，解決此類問(wèn)題，應(yīng)結(jié)合題意，最好實(shí)際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關(guān)系．