Question

已知拋物線C₁：y=x²+mx+1的頂點在x軸負半軸上．
（1）求拋物線C₁的頂點坐標；
（2）把拋物線C₁向下平移若干個單位后，得到拋物線C₂，已知C₂與x軸的交點為A（1，0）、B，求拋物線C₂的函數解析式和B點的坐標；
（3）若P（n，y₁）、Q（2，y₂）是拋物線C₁上的兩點，且y₁＞y₂．直接寫出實數n的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵y=x²+mx+1的頂點在x軸負半軸上，
∴b²-4ac=m²-4=0，x=-＜0，則m＞0，
解得：m₁=2，m₂=-2（不合題意舍去），
∴y=x²+mx+1=x²+2x+1=（x+1）²，
∴C₁的頂點坐標為（-1，0）；

（2）設C₂的函數關系式為y=（x+1）²+k，
把A（1，0）代入上式得（1+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函數關系式為y=（x+1）²-4．
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個交點為A（1，0），
由對稱性可知，它與x軸的另一個交點B的坐標為（-3，0）；

（3）當x≥-1時，y隨x的增大而增大，
當n≥-1時，
∵y₁＞y₂，
∴n＞2．
當n＜-1時，P（n，y₁）的對稱點坐標為（-2-n，y₁），且-2-n＞-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4．
綜上所述：n＞2或n＜-4．
分析：（1）由于二次函數y=x²+mx+1的頂點在x軸負半軸上，那么頂點的縱坐標為0，由此可以確定m．
（2）首先設所求拋物線解析式為y=（x+1）²+k，然后把A（1，0）代入即可求出k，也就求出了拋物線的解析式；
（3）由于圖象C₁的對稱軸為直線x=-1，所以知道當x≥-1時，y隨x的增大而增大，然后討論n≥-1和n≤-1兩種情況，利用前面的結論即可得到實數n的取值范圍．
點評：此題考查了拋物線與x軸交點個數與其判別式的關系以及拋物線平移的性質和拋物線的增減性，熟練掌握二次函數平移的性質是解題關鍵．