Question

如圖，在平面直角坐標系中xOy中，一次函數（m為常數）的圖象與x軸交于點A（-3，0），與y軸交于點C．以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）經過A、C兩點，并與x軸的正半軸交于點B．
（1）求點C的坐標；
（2）求拋物線的函數表達式；
（3）設E是y軸右側拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F，是否存在這樣的點E，使得A，C，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求得m的值和直線的解析式，進而得出C點坐標；
（2）根據拋物線對稱性得到B點坐標，根據A、B點坐標利用交點式求得拋物線的解析式；
（3）存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．如答圖1所示，過點E作EG⊥x軸于點G，構造全等三角形，利用全等三角形和平行四邊形的性質求得E點坐標和平行四邊形的面積．注意：符合要求的E點有兩個，如答圖1所示，不要漏解．
解答：解：（1）∵y=x+m經過點（-3，0），
∴0=-+m，
解得：m=，
∴直線解析式為：y=x+，
C（0，）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c對稱軸為x=1，且與x軸交于A（-3，0），
∴另一交點為B（5，0），
設拋物線解析式為y=a（x+3）（x-5），
∵拋物線經過C（0，），
∴=a•3（-5），
解得a=-，
∴拋物線解析式為y=-x²+x+；

（2）假設存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
則AC∥EF且AC=EF．如答圖1，

（i）當點E在點E位置時，過點E作EG⊥x軸于點G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，
在△CAO和△EFG中
，
∴△CAO≌△EFG（AAS），
∴EG=CO=，
即y_E=，
∴=-x_E²+x_E+，
解得x_E=2（x_E=0與C點重合，舍去），
∴E（2，），
S_?ACEF=；
（ii）當點E在點E′位置時，過點E′作E′G′⊥x軸于點G′，
-=-x²+x+，
解得：x=1±，（負數舍去），則x=1+，
可得E′（+1，-），
S_?ACE′F′=．
點評：本題考查了二次函數的相關性質、一次函數的相關性質、一元二次方程根與系數的關系以及二次根式的運算、平行四邊形、全等三角形等．本題解題技巧要求高，而且運算復雜，因此對考生的綜合能力提出了很高的要求．