Question

如圖，等邊△ABC的邊長為6，BC在x軸上，BC邊上的高線AO在y軸上，直線l繞點A轉動（與線段BC沒有交點）．設與AB、l、x軸相切的⊙O₁的半徑為r₁，與AC、l、x軸相切的⊙O₂半徑為r₂
（1）求兩圓的半徑之和；
（2）探索直線l繞點A轉動到什么位置時兩圓的面積之和最小？最小值是多少？
（3）若，求經過點O₁、O₂的一次函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）本小題先根據切線的性質得到EF的長，再依據銳角三角函數求出EB+FC的值，進而解決問題；
（2）解決本題的關鍵就是求出兩圓之和和r₁之間的函數關系式，根據二次函數的極值解決問題；
（3）本小題主要用待定系數法求出一次函數的解析式．
解答：解：（1）解法1：設切點分別為M、N、E、F、P、Q，由切線定義，可得AM=AP，AN=AQ，EB=BP，FC=CQ，MN=EF，
∴MN+EF=18，MN=EF，
∴EF=9，
∴EB+FC=9-6=3，
∵∠EBP=120°，
∴∠EBO₁=60°，
∴r₁=EB，
同理r₂=CF，
∴r₁+r₂=（EB+FC）=3，
解法2：∵∠EBP=120°，
∴∠EBO₁=60°，
∴EB=PB=，同理CF=CQ=，
∴由EF=MN得：+6+=（6-）+（6-）
∴r₁+r₂=3
評分參考：①利用Rt△解得r與切線關系（2分）；②得出結果r₁+r₂=3，（2分）

（2）兩圓面積之和S=，（2分）
∴當時，面積之和最小，這時r₁=r₂，直線l∥x軸，（1分）
面積和的最小值為；（1分）

（3）由r₁+r₂=3，r₁-r₂=，解得，，（2分）
直線O₁O₂解析式為．（2分）
點評：本題主要考查學生對圓的切線性質及二次函數相關知識的掌握程度，難度比較大，關鍵是通過圓的切線性質的應用及待定系數法．