Question

點D為Rt△ABC的斜邊AB上一點，點E在AC上，連接DE，CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD交DE的延長線于點F，連接AF
（1）如圖1，若AC=BC，求證：AF⊥AB；
（2）如圖2，若AC≠BC，當點D在AB上運動時，求證：AF⊥AB．

Answer 1

證明：（1）∵∠ADE=∠BCD，
∴∠FDC=∠B=45°，
∴CD=CF，
∴△CDB≌△CAF，
∴∠CAF=45°，
∴AF⊥AB；

（2）∵∠ADE=∠BCD，
∠ACD+∠DCB=90°，
∠DCA+∠ACF=90°，
∴∠ACF=∠BCD=∠ADF，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠BAC=∠CFD，
∵∠ACB=∠DCF=90°，
∴△ACB∽△FDC，
∴，
∴△BCD∽△ACF，
∴∠B=∠CAF，
∴AF⊥AB．
分析：（1）根據∠ADE=∠BCD可得出∠FDC=∠B=45°，進而可得到△CDB≌△CAF，由全等三角形的性質即可得出AF⊥AB；
（2）先根據相似三角形的判定定理得出△ACB∽△FDC，進而得出△BCD∽△ACF，再由相似三角形的性質即可得出結論．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，熟知以上知識是解答此題的關鍵．