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已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(2,-3),C(3,0)三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線的頂點(diǎn)為D,E是拋物線上的點(diǎn),并且滿足△AEC的面積是△ADC面積的3倍,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)M是拋物線上,位于x軸的下方,且在對稱軸左側(cè)的一個動點(diǎn),過M作x軸的平行線,交拋物線于另一點(diǎn)N,再作MQ⊥x軸于Q,NP⊥x軸于P.試求矩形MNPQ周長的最大值.
【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),用待定系數(shù)法即可求出未知數(shù)的值,從而求出二次函數(shù)的解析式.
(2)根據(jù)(1)中所求拋物線的解析式可求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo),可求出△ACD的面積,代入三角形AEC的面積公式便可求出E點(diǎn)的縱作坐標(biāo),代入二次函數(shù)的關(guān)系式即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)拋物線的對稱性可求出N點(diǎn)坐標(biāo),用x表示出MN、MQ的值,根據(jù)矩形的面積公式可列出L與x的關(guān)系式,根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求出L的最大值.
解答:解:(1)把A(-1,0),B(2,-3),C(3,0)三點(diǎn)分別代入拋物線y=ax2+bx+c得,

解得,
故此拋物線的解析式為:y=x2-2x-3;

(2)D(1,-4),AC=4,S△ACD=×4×4=8  (4分)
設(shè)E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y,則S△AEC=.AC.|y|=2|y|
由題意知S△AEC=3S△ADC
∴2|y|=24,|y|=12,y=±12(負(fù)值舍去)   5分
∴12=x2-2x-3即x1=5,x2=-3
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)是(-3,12)或(5,12);6分

(3)設(shè)M(x,y)則N(2-x,y)(-1<x<1)
MN=2-2x,MQ=-y=-x2+2x+3   7分
四邊形MNPQ的周長為
L=2(2-2x)+2(-x2+2x+3)=-2x2+10  8分
∴當(dāng)x=0時,L有最大值10.  9分
點(diǎn)評:此題考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、列函數(shù)關(guān)系式以及最值的求法,是中學(xué)階段的基本題目,但有一定的難度.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三點(diǎn),且精英家教網(wǎng)與x軸的另一個交點(diǎn)為E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用配方法求拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸;
(3)求四邊形ABDE的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y=ax2和直線y=kx的交點(diǎn)是P(-1,2),則a=
 
,k=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2、已知拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),那么該拋物線有( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的頂點(diǎn)P在x軸上,與y軸交于點(diǎn)Q,過坐標(biāo)原點(diǎn)O,作OA⊥PQ,垂足為A,且OA=
2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過點(diǎn)A(1,0),頂點(diǎn)為B,且拋物線不經(jīng)過第三象限.
(1)使用a、c表示b;
(2)判斷點(diǎn)B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點(diǎn)B,且于該拋物線交于另一點(diǎn)C(
ca
,b+8
),求當(dāng)x≥1時y1的取值范圍.

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