Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（2，-3），C（3，0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，E是拋物線上的點(diǎn)，并且滿足△AEC的面積是△ADC面積的3倍，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)M是拋物線上，位于x軸的下方，且在對稱軸左側(cè)的一個動點(diǎn)，過M作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)N，再作MQ⊥x軸于Q，NP⊥x軸于P．試求矩形MNPQ周長的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，用待定系數(shù)法即可求出未知數(shù)的值，從而求出二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）中所求拋物線的解析式可求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求出△ACD的面積，代入三角形AEC的面積公式便可求出E點(diǎn)的縱作坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的關(guān)系式即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，用x表示出MN、MQ的值，根據(jù)矩形的面積公式可列出L與x的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求出L的最大值．
解答：解：（1）把A（-1，0），B（2，-3），C（3，0）三點(diǎn)分別代入拋物線y=ax²+bx+c得，
，
解得，
故此拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）D（1，-4），AC=4，S_△ACD=×4×4=8  （4分）
設(shè)E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，則S_△AEC=．AC．|y|=2|y|
由題意知S_△AEC=3S_△ADC
∴2|y|=24，|y|=12，y=±12（負(fù)值舍去）   5分
∴12=x²-2x-3即x₁=5，x₂=-3
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，12）或（5，12）；6分

（3）設(shè)M（x，y）則N（2-x，y）（-1＜x＜1）
MN=2-2x，MQ=-y=-x²+2x+3   7分
四邊形MNPQ的周長為
L=2（2-2x）+2（-x²+2x+3）=-2x²+10  8分
∴當(dāng)x=0時，L有最大值10．  9分
點(diǎn)評：此題考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、列函數(shù)關(guān)系式以及最值的求法，是中學(xué)階段的基本題目，但有一定的難度．