Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+1與y=-x+3交于點A，分別交x軸于點B和點C，點D是直線AC上的一個動點．
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）當△CBD為等腰三角形時，求點D的坐標；
（3）在直線AB上是否存在點E，使得以點E，D，O，A為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，代入直線解析式求出B，C點坐標．聯立方程組后可求出點A的坐標．
（2）當△CBD為等腰三角形時，分三種情況討論（BD₁=D₁C；BC=BD₂；CD₃=BC，或CD₄=BC），依靠輔助線的幫助求出點D的坐標．
（3）本題也要借助輔助線的幫助．分為三種情況討論（當四邊形AE₁OD₁為平行四邊形；當四邊形AD₂E₁O為平行四邊形時；當四邊形AOD₁E₂為平行四邊形時）．
解答：解：（1）在y=x+1中，當y=0時，x+1=0，∴x=-1，點B的坐標為（-1，0）． （1'）
在y=-x+3中，當y=0時，-x+3=0，∴x=4，點C的坐標為（4，0）． （2分）
由題意，得解得
∴點A的坐標為（，）．（3分）

（2）當△CBD為等腰三角形時，有以下三種情況，如圖（1）．設動點D的坐標為（x，y）．
由（1），得B（-1，0），C（4，0），∴BC=5．
①當BD₁=D₁C時，過點D₁作D₁M₁⊥x軸，垂足為點M₁，則BM₁=M₁C=BC．
∴BM₁=，OM₁=-1=，x=．
∴y=-，點D₁的坐標為．（4分）
②當BC=BD₂時，過點D₂作D₂M₂⊥x軸，垂足為點M₂，則D₂M₂²+M₂B²=D₂B²，
∵M₂B=-x-1，D₂M₂=-x+3，D₂B=5，
∴（-x-1）²+（-x+3）²=5²．
解得x₁=-，x₂=4（舍去）．此時，．
∴點D₂的坐標為． （6分）
③當CD₃=BC，或CD₄=BC時，同理可得D₃（0，3），D₄（8，-3）．（9分）
由此可得點D的坐標分別為D₁（，），D₂（-，），D₃（0，3），D₄（8，-3）．
評分說明：符合條件的點有4個，正確求出1個點的坐標得（1分），2個點的坐標得（3分），3個點的坐標得（5分），4個點的坐標得滿分；與所求點的順序無關．

（3）存在．以點E，D，O，A為頂點的四邊形是平行四邊形有以下三種情形，如圖（2）．
①當四邊形AE₁OD₁為平行四邊形時，． （10分）
②當四邊形AD₂E₁O為平行四邊形時，=．（11分）
③當四邊形AOD₁E₂為平行四邊形時，．（12分）
點評：本題考查的是二元一次方程組的應用，平行四邊形的判定以及線段比的有關知識，難度中上．