Question

已知：△ABC中，AX，BY，CZ分別是BC，AC，AB邊上的中線，求證：AX，BY，CZ相交于一點G，并且AG：GX=2：1．

Answer 1

分析：此題是三角形重心性質的證明，設AX，BY交于一點G，作AG，BG中點D，E，根據中位線定理求得四邊形DEXY為平行四邊形，所以GD=DA=GX，GY=GE=EB，所以AG：GX=2：1，BG：GY=2：1；同理，設BY與CZ相交于一點G′，證明G′與G重合即可．

解答：證明：設AX，BY交于一點G，連接AG，BG中點D，E．
∵X，Y分別是BC，AC的中點，
∴XY∥DE且XY=DE，
∴四邊形DEXY為平行四邊形，
∴GD=DA=GX，GY=GE=EB，
∴AG：GX=2：1，BG：GY=2：1．
同理，若BY與CZ相交于一點G′，必有BG′：G′Y=2：1，G′C：G′Z′=2：1，
∴G′與G重合，
∴AX，BY，CZ相交于一點G，并且AG：GX=2：1．

點評：此題考查三角形重心性質的證明，先設相交于不同點，再證明點重合是基本思路．