Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點E、F，與AB分別相交于點G、H，且EH的延長線與CB的延長線交于點D，則CD的長為（　　）

• A、

  2 2 -1

  2

  a
• B、

  2 +1

  2

  a
• C、

  2

  a
• D、(

  2

  -

  1

  4

  )a

Answer 1

分析：連接OE、OF，由切線的性質結合結合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半徑為0.5a，則BF=a-0.5a=0.5a，再由切割線定理可得BF²=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性質即可求出BH=BD，最終由CD=BC+BD，即可求出答案．

解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點E、F，與AB分別相交于點G、H，且EH的延長線與CB的延長線交于點D
∴連接OE、OF，由切線的性質可得OE=OF=⊙O的半徑，∠OEC=∠OFC=∠C=90°
∴OECF是正方形
∵由△ABC的面積可知

1

2

×AC×BC=

1

2

×AC×OE+

1

2

×BC×OF
∴OE=OF=

1

2

a=EC=CF，BF=BC-CF=0.5a，GH=2OE=a
∵由切割線定理可得BF²=BH•BG
∴

1

4

a²=BH（BH+a）
∴BH=

-1+ 2

2

a或BH=

-1- 2

2

a（舍去）
∵OE∥DB，OE=OH
∴△OEH∽△BDH
∴

OE

OH

=

BD

BH

∴BH=BD，CD=BC+BD=a+

-1+ 2

2

a=

1+ 2

2

a．
故選B．

點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用相似三角形的性質及切線的性質即可解決問題．