Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與直線y=kx+b交于A（3，0）、C（0，3）兩點，拋物線的頂點坐標為Q（2，-1）．點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交直線AC于點D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設P點的橫坐標為t，PD的長度為l，求l與t之間的函數關系式，并求l取最大值時，點P的坐標．
（3）在問題（2）的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F 為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用頂點式將Q點代入進而得出拋物線解析式；
（2）首先求出AB所在直線解析式，進而表示出P，D的坐標，即可得出PD長度的關系式，求出P點坐標即可；
（3）分別根據①若AP是平行四邊形的一條邊時，平移直線AP（如圖）交x軸于點E，交拋物線于點F，②當AP是平行四邊形的一條對角線時，要使以A、P、E、F 為頂點的平行四邊形，求出F點坐標即可．
解答：解：（1）∵拋物線的頂點為Q（2，-1），
∴設y=a（x-2）²-1，將C（0，3）代入，得：
3=a（0-2）²-1，
解得：a=1．
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）∵直線y=kx+b過（3，0），（0，3），則：
，
解得：，
∴AB的解析式為：y=-x+3．
由題意有P（t，t²-4t+3），D（t，-t+3），
∴PD=l=（-t+3）-（t²-4t+3）=-t²+3t，
∴當t=時，l取最大值，
此時P點的坐標為[，（）²-4×（）+3]，
即P（，-）．

（3）①若AP是平行四邊形的一條邊時，平移直線AP（如圖）交x軸于點E，交拋物線于點F．
此時當AP=FE時，四邊形PAFE是平行四邊形．
∵P（，-），
∴可令F（x，）或F（x，-）．
∴x²-4x+3=或x²-4x+3=-，
解之得x₁=，x₂=，x₃=，x₄=．
但當x₁=時，F點與P點重合，不能構成平行四邊形．
滿足條件的F點有三個，即F₁（，）、F₂（，）、F₃（，-）；
②當AP是平行四邊形的一條對角線時，要使以A、P、E、F 為頂點的平行四邊形，
則有PF∥AE，即F₂的縱坐標與P點的縱坐標相同，即x²-4x+3=-，
此種情況在①中已求得F₃的坐標．
綜上所述，滿足條件的F點的坐標有三個，
即F₁（，）、F₂（，）、F₃（，-）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及平行四邊形的性質以及頂點式求二次函數解析式等知識，利用數形結合以及分類討論的思想得出是解題關鍵．