Question

已知：如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E是CD上一點（不與C、D重合），連接AE，過點B作BF⊥AE，垂足為F．
（1）若DE=2，求cos∠ABF的值；
（2）設AE=x，BF=y，①求y關于x之間的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍；②問當點E從D運動到C，BF的值在增大還是減�。坎⒄f明理由．
（3）當△AEB為等腰三角形時，求BF的長．

Answer 1

分析：（1）直接根據相似三角形的判定得出△ABF∽△EDA，再利用成比例線段可知

BF

AB

=

AD

AE

=

3 13

13

，即可得出答案；
（2）①直接利用（1）中結果表示為：y=

15

x

；②其利用其單調性可知：y隨x的增大而減小．
（3）當△AEB為等腰三角形時，有3種情況：a、當AB=BE時，BF=

3 10

2

b、當AE=BE時，BF=

30 61

61

c、當AB=AE=5時，BF=AD=3．

解答：解：（1）∵BF⊥AE，
∴∠FBA+∠FAB=90°，∠AFB=90°，
∵∠D=∠AFB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
∴△ABF∽△EDA
∵DE=2，AD=3，
∴AE=

13

，
∴cos∠ABF=

BF

AB

=

AD

AE

=

3 13

13

；

（2）根據（1）可知：
①

5

x

=

y

3

即y=

15

x

，3＜x＜

34

；
②減小，因為y=

15

x

中，每個象限內，y隨x的增大而減��；

（3）當△AEB為等腰三角形時，有3種情況：
a、當AB=BE時，則BE=5，則CE=

BE2-BC2

=4，∴DE═5-4=1，
∴AE=

AD2+DE2

=

10

，
∴AF=

10

2

，
∴BF=

3 10

2

；
b、當AE=BE時，E為CD中點，則DE=2.5，AE=

61

2

，
∵AD•AB=BF•AE，
∴3×5=BF×

61

2

，
∴BF=

30 61

61

；
c、當AB=AE=5時，△ABF≌△AED，則BF=AD=3．
所以BF的值為：

3 10

2

或

30 61

61

或3．

點評：此題主要考查了反比例函數和矩形的綜合題．解題的關鍵是熟練掌握矩形的性質和反比例函數的關系式的幾何意義．在解決第三問時要把三種情況都考慮進去，不要漏掉一種情況，靈活運用三角形相似或勾股定理解題．