Question

已知：如圖，為了躲避海盜，一輪船一直由西向東航行，早上8點，在A處測得小島P的方向是北偏東75°，以每小時15海里的速度繼續向東航行，10點到達B處，并測得小島P的方向是北偏東60°，若小島周圍25海里內有暗礁，問該輪船是否能一直向東航行？

Answer 1

解：過P作PD⊥AB于點D．

∵∠PBD=90°-60°=30°
且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90-75=15°
∴∠PAB=∠APB
∴BP=AB=15×2=30（海里）
∵在直角△BPD中，∠PBD=∠PAB+∠APB=30°
∴PD=BP=15海里＜25海里
故若繼續向東航行則有觸礁的危險，不能一直向東航行．
分析：過P作AB的垂線PD，在直角△BPD中可以求的∠PAD的度數是30度，即可證明△APB是等腰三角形，即可求得BP的長，進而在直角△BPD中，利用30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，從而求得PD的長，即可確定繼續向東航行是否有觸礁的危險，確定是否能一直向東航行．
點評：解一般三角形的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．正確證明△APB是等腰三角形是解決本題的關鍵．