Question

【題目】如圖，矩形的兩條邊分別在軸和軸上，已知點、點.

(1)若把矩形沿直線折疊，使點落在點處，直線與的交點分別為，求折痕的長；

(2)在(1)的條件下，點在軸上，在平面內是否存在點，使以為頂點的四邊形是菱形？若存在，則請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖，若為邊上的一動點，在上取一點，將矩形繞點順時針旋轉一周，在旋轉的過程中，的對應點為，請直接寫出的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】(1)折痕的長為；(2)點坐標為或或或；(3)的最小值為,的最大值為5.

【解析】

(1)連接AD，根據(jù)矩形的性質可求出，繼而得，設，則，在中，根據(jù)勾股定理求出DC長，繼而在中利用勾股定理求出DF長，證明，由全等三角形的性質得EF=DF，進而可求得答案；

(2)分兩咱情形分別討論即可：DE為菱形的邊；DE為菱形的對角線；

(3)由題意點M在如圖3中的圓環(huán)內或兩個圓上，利用圖象法即可解決問題.

(1)連接AD，

四邊形是矩形，，

，

由折疊可得：，設，則，

在中，，

即 ，

解得 ，即，

在中， 即，

解得，

四邊形是矩形，，

，

，

折痕的長為；

(2)由(1)可知，，

①當為菱形的邊時，，可得，

②當為菱形的對角線時，與重合，與重合，，

③當點在第三象限，與關于軸對稱，，

綜上所述，點坐標為或或或；

(3)如圖中，作則，

觀察圖形可知，的最小值 ，

的最大值 .