Question

（2009•臨夏州）如圖1，拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-3）．[圖2、圖3為解答備用圖]

（1）k=______，點A的坐標為______，點B的坐標為______；
（2）設拋物線y=x²-2x+k的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在拋物線y=x²-2x+k上求點Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）把C（0，-3）代入拋物線解析式可得k值，令y=0，可得A，B兩點的橫坐標；
（2）過M點作x軸的垂線，把四邊形ABMC分割成兩個直角三角形和一個直角梯形，求它們的面積和；
（3）設D（m，m²-2m-3），連接OD，把四邊形ABDC的面積分成△AOC，△DOC，△DOB的面積和，求表達式的最大值；（4）有兩種可能：B為直角頂點、C為直角頂點，要充分認識△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通過解直角三角形求出相關線段的長度．
解答：解：（1）把C（0，-3）代入拋物線解析式y=x²-2x+k中得k=-3
∴y=x²-2x-3，
令y=0，
即x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的頂點為M（1，-4），連接OM．
則△AOC的面積=，△MOC的面積=，
△MOB的面積=6，
∴四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9．
說明：也可過點M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面
積轉化為求1個梯形與2個直角三角形面積的和．

（3）如圖（2），設D（m，m²-2m-3），連接OD．
則0＜m＜3，m²-2m-3＜0
且△AOC的面積=，△DOC的面積=m，
△DOB的面積=-（m²-2m-3），
∴四邊形ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積
=-m²+m+6
=-（m-）²+．
∴存在點D（，），使四邊形ABDC的面積最大為．

（4）有兩種情況：
如圖（3），過點B作BQ₁⊥BC，交拋物線于點Q₁、交y軸于點E，連接Q₁C．
∵∠CBO=45°，
∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴點E的坐標為（0，3）．
∴直線BE的解析式為y=-x+3．
由
解得
∴點Q₁的坐標為（-2，5）．
如圖（4），過點C作CF⊥CB，交拋物線于點Q₂、交x軸于點F，連接BQ₂．
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴點F的坐標為（-3，0）．
∴直線CF的解析式為y=-x-3．
由
解得
∴點Q₂的坐標為（1，-4）．
綜上，在拋物線上存在點Q₁（-2，5）、Q₂（1，-4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC為直角邊的直角三角形．

說明：如圖（4），點Q₂即拋物線頂點M，直接證明△BCM為直角三角形同樣可以．
點評：本題考查了拋物線解析式的求法，運用解析式解決面積問題，及求構成直角三角形的條件等知識．