Question

如圖，正方形ABCD中，點M是邊BC上一點（異于點B、C），AM的垂直平分線分別交AB、CD、BD于E、F、K，連AK、MK．下列結論：①EF=AM；②AE=DF+BM；③EK＞FK； ④∠AKM=90°．其中正確的結論個數是（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據三角形的全等得出△ABM≌△FGE，進而得出EF=AM，再利用矩形的性質可得出AE=DF+BM；再利用相似三角形的性質判斷出線段之間的關系即可得出正確答案．
解答：解：作FG⊥AB于G，
∵AM的垂直平分線分別交AB、CD、BD于E、F、K，
∴∠ANE=90°，AN=MN，
∵∠AEN=∠AMB，∠ABM=∠EGF，GF=AB，
∴△ABM≌△FGE，
∴EF=AM，
故①選項正確，
由①得：AG=DF，GE=BM，
∴AE=DF+BM；
故②選項正確，
將M點當作動點問題，M點從B運動到C，可發現BK由等于DK變為大于DK，然而M不與BC點重合，所以BK始終大于DK，△KEB∽△KFD，
∴EK＞FK，
故③此選項正確；
過點K作RT⊥BC，此時TR⊥AD，
∵∠RDK=∠KDW=45°，
∴四邊形DRKW是正方形，
∴RD=RK，
∴AR=KT，
∵AK=KM，
∴△ARK≌△KTM（HL），
∴∠AKR=∠KMT，
∴∠AKR+∠MKT=90°，
∴∠AKM=90°，
故④本選項正確．
故選D．
點評：此題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的判定和垂直平分線的性質等知識，可利用數形結合思想根據圖形提供的數據是求線段關系常用的方法．