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(1999•哈爾濱)已知:如圖,在以O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB和小圓相切于點C,過點C作大圓的弦DE,使DE⊥OA,垂足為F,DE交小圓于另一點G.求證:AF•AO=DC•DG.

【答案】分析:連接OC,根據相交弦定理可得,AC•BC=DC•CE,又AB是小圓的切線,故OC⊥AB,根據垂徑定理,可得AC=BC,故AC2=DC•CE;又因為OC⊥AB,DE⊥OA,所以有∠AFC=∠ACO=90°,且∠CAF=∠OAC,那么△ACF∽△AOC,可得比例線段AC:AF=AO:AC,即AC2=AO•AF;于是有AO•AF=DC•CE;而DE⊥OA,利用垂徑定理,可得DF=EF,CF=FG,等量加等量和相等,可得DG=CE,等量代換可得AO•AF=DC•DG.
解答:證明:連接OC,(1分)
∵AB是小圓切線,
∴OC⊥AB,
∴AC=BC,(1分)
∵AB與DE相交于C,
∴CA•CB=CD•CE,(1分)
∴AC2=CD•CE,①
∵OC⊥AC,CF⊥OA,
∴△ACO∽△AFC,
=
∴AC2=AF•AO,②
∵OF⊥DE,
∴CF=GF,DF=EF,
∴DF+FG=EF+CF,
∴DG=EC,③(2分)
由①、②、③,可得AF•AO=DC•DG.
點評:本題利用了垂徑定理、相似三角形的判定和性質、相交弦定理、等量代換等知識.
練習冊系列答案
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(1)當點P在弧OM上運動時,設PC=x,=y,求y與x之間的函數關系式及自變量的取值范圍;
(2)當點P運動到某一位置時,恰使OB=3OD,求此時AC所在直線的解析式.

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(1999•哈爾濱)已知:如圖,在平面直角坐標系中,以點A(4,0)為圓心,AO為半徑的圓交x軸于點B.設M為x軸上方的圓長交y軸于點D.
(1)當點P在弧OM上運動時,設PC=x,=y,求y與x之間的函數關系式及自變量的取值范圍;
(2)當點P運動到某一位置時,恰使OB=3OD,求此時AC所在直線的解析式.

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(1)求經過O1、C、O2三點的拋物線的解析式;
(2)設直線y=kx+m與(1)中的拋物線交于M、N兩點,若線段MN被y軸平分,求k的值;
(3)在(2)的條件下,點D在y軸負半軸上.當點D的坐標為何值時,四邊形MDNC是矩形?

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(1)當點P在弧OM上運動時,設PC=x,=y,求y與x之間的函數關系式及自變量的取值范圍;
(2)當點P運動到某一位置時,恰使OB=3OD,求此時AC所在直線的解析式.

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(1999•哈爾濱)函數y=中,自變量x的取值范圍是   

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