Question

操作：如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞P點旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、射線CB于D、E兩點，圖1、2、3是旋轉三角板得到的圖形中的三種．
探究：（Ⅰ）三角板繞P點旋轉，觀察線段PD和PE之間有什么數量關系？它們的關系為______，并以圖2為例，加以證明；
（Ⅱ）如圖4，若三角板直角頂點放在斜邊AB上的M處，且．和前面一樣操作，試問線段DM和ME之間的數量關系為______，先補全圖4，然后加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為△ABC是等腰直角三角形，所以連接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．連接CP，就可以證明△CDP≌△BEP，再根據全等三角形的對應邊相等，就可以證明DP=PE；
（2）作MH⊥CB，MF⊥AC，構造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用對應邊成比例，就可以求出MD和ME之間的數量關系．
解答：解：（1）連接PC．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE；

 （2）MD：ME=1：3．
過點M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分別是F、H．
∴MH∥AC，MF∥BC．
∴四邊形CFMH是平行四邊形．
∵∠C=90°，
∴CFMH是矩形．
∴∠FMH=90°，MF=CH．
∵，HB=MH，
∴．
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MEH．
∴．
點評：此題比較復雜，綜合考查全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、圖形的變換．綜合性很強，勾股定理的計算要求也比較高．