Question

如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點B，C，D在一條直線上，點M是AE的中點，BC=3，CD=1.

(1)求證tan∠AEC=；
(2)請探究BM與DM的關系，并給出證明.

Answer 1

(1)見解析
(2)見解析

（1）由△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，易證得∠ACE=90°，△ABC∽△CDE，即可得
，又由在Rt△ACE中，tan∠AEC=，即可證得結果；
（2）首先過點M作MN⊥BD，垂足為N，易得AB∥MN∥ED，又由點M是AE的中點，易得N是BD的中點，然后利用線段垂直平分線的性質，即可證得BM=DM．
（1）證明：∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，；
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE，
，
∵在Rt△ACE中，tan∠AEC=，
∴tan∠AEC=；
（2）BM=DM．
（3）證明：過點M作MN⊥BD，垂足為N，

∵∠ABC=∠EDC=90°，
∴AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥MN∥ED，
∴AM：EM=BN：DN，
∵點M是AE的中點，
即AM=EM，
∴BN=DN，
∴BM=DM．