Question

（本題10分）如圖直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

(1)求BC的長；

(2)動點P從點B出發，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向點D運動；動點Q從點C出發，以1cm/s的速度沿C→D方向向點D運動；過點Q作QF⊥BC于點F．若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達終點時整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．問：在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

 

        

 

 

 

Answer 1

解：（1）過點D作DE⊥BC于點E

       ∵四邊形ABCD是直角梯形      ∴四邊形ABED是矩形

       ∴AD=BE=2，AB=DE=8…………………（1分）

       在Rt△DEC中，CE===6 …………………（2分）

      ∴BC =8. …………………（3分）

（2）（i）當0≤t≤8時，過點Q 作QG⊥AB于點G，過點Q作QF⊥CB于點F。

∵BP=t，CQ=t，      ∴AP=8－t，DQ=10－t，…………（4分）

∵DE⊥BC，QF⊥CB

∴△CQF∽△CDE

∴

∴      ∴CF=，QF=，

∴PG==，QG=8－

∴=（8－t）2+22=t2+16t+68，

∴PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2=

若DQ=PD，則（10－t）2= t2+16t+68，解得：t=8；………………（6分）

若DQ=PQ，則（10－t）2=，

解得：t1= ，t2=＞8（舍去），

此時t=；             ……… ………（8分）

（ii）當8＜t＜10時，PD=DQ=10－t，

      ∴此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；………………（9分）

   而當t=10時，點P、D、Q三點重合，無法構成三角形；…………（10分）

綜上,當t=或8≤t＜10時，以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形.                                

解析:略