Question

觀察下列方程及其解的特征：
（1）x+

1

x

=2的解為x₁=x₂=1；
（2）x+

1

x

=

5

2

的解為x₁=2，x₂=

1

2

；
（3）x+

1

x

=

10

3

的解為x₁=3，x₂=

1

3

；
…
解答下列問題：
（1）請猜想：方程x+

1

x

=

26

5

的解為

 

；
（2）請猜想：關于x的方程x+

1

x

=

 

的解為x₁=a，x₂=

1

a

（a≠0）；
（3）下面以解方程x+

1

x

=

26

5

為例，驗證（1）中猜想結論的正確性．
解：原方程可化為5x²-26x=-5．
（下面請大家用配方法寫出解此方程的詳細過程）

Answer 1

分析：解此題首先要認真審題，尋找規律，依據規律解題．解題的規律是將分式方程轉化為一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的兩根互為倒數，其中一根為分母，另一根為分母的倒數．

解答：解：（1）x₁=5，x2=

1

5

；
（2）

a2+1

a

（或a+

1

a

）；
（3）方程二次項系數化為1，
得x2-

26

5

x=-1．
配方得，
x2-

26

5

x+(-

13

5

)2=-1+(-

13

5

)2，即(x-

13

5

)2=

144

25

，
開方得，
x-

13

5

=±

12

5

，
解得x₁=5，x2=

1

5

．
經檢驗，x₁=5，x2=

1

5

都是原方程的解．

點評：此題考查了學生的綜合應用能力，解題的關鍵是認真審題，尋找規律．
配方法的一般步驟：
（1）把常數項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．