Question

如圖，已知二次函數y＝ax²＋bx＋c的圖象交x軸的負半軸于點A（－5，0），交y軸于點B，過點B作BC⊥y軸交函數y＝ax²＋bx＋c的圖象于點C（－2，4）．

（1）設函數y＝ax²＋bx＋c的圖象與x軸的另一個交點為D，求△ABD的面積．

（2）若P為y軸上的一個動點，連接PA、PC，分別過A、C作PC、PA的平行線交于點Q，連接PQ．試探究：

①是否存在這樣的點P，使得PQ²＝PA²＋PC²？為什么？

②是否存在這樣的點P，使得PQ取得最小值？若存在，請求出這個最小值，并求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

②連接AC交PQ于點M，如右圖所示．∵四邊形PAQC為平行四邊形，∴M為AC、PQ的中點．………（8分）PQ取得最小值時，MP必定取得最小值．

顯然，當P為OB的中點時，由梯形中位線定理可得MO∥CB，∴MP⊥y軸．此時MP取得最小值，為×(2＋5)＝．∴PQ的最小值為7．…………（9分）  PQ取得最小值時，P（0，2）．……（10分）