Question

如圖，在平面直角坐標系，直線與x軸、y軸分別相交于A、D兩點，點B在y軸上，現將△AOB沿AB翻折180°，使點O剛好落在直線AD的點C處．
（1）求BD的長．
（2）設點N是線段AD上的一個動點（與點A、D不重合），S_△NBD=S₁，S_△NOA=S₂，當點N運動到什么位置時，S₁•S₂的值等于90，并求出此時點N的坐標．
（3）在y軸上是否存在點M，使△MAC為直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，簡述理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B兩點的坐標，由勾股定理求出AD的長度，再由圖形翻折變換的性質即可得出AC及DC的長，由相似三角形的判定定理得出△DBC∽△DAO，由相似三角形的對應邊成比例即可求出DB的長；
（2）設N（x，y），由三角形的面積公式即可用x、y表示出S₁，S₂的值，由S₁•S₂=90即可求出x的值，進而得出N點坐標；
（3）由于△MAC為直角三角形，所以∠MCA=90°或∠MAC=90°，需分情況討論：
若∠MCA=90°則M與B重合，所以M（0，3）；若∠MAC=90°，則△AMD∽△OAD，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出DM的長，進而得出M點的坐標．
解答：解：（1）∵令y=0，得x=6；
令x=0，得y=8．
∴A（6，0），D（0，8）．
∴AD===10，
∵將△AOB沿AB翻折180°，使點O剛好落在直線AD的點C處，
∴AC=AO=6，DC=AD-AC=10-6=4．
∵∠D=∠D，∠DCB=∠O=90°，
∴△DBC∽△DAO．
∴DC：DO=DB：DA，即4：8=DB：10，
∴DB=5；

（2）如圖1，設N（x，y）．
s₁=×5•x=x，s₂=×6•y=3y，
s₁•s₂=x•3y=xy=x•（-x+8）=-10x²+60x=90．
解得x=3，
則y=-（x-6）=4，
∴N（3，4）；


（3）如圖2，∵△MAC為直角三角形，
∴∠MCA=90°或∠MAC=90°．
若∠MCA=90°，則M與B重合，
∵BD=5，
∴M（0，3）；
若∠MAC=90°，則△AMD∽△OAD，
∴DM：AD=AD：OD，
∴DM：10=10：8．
∴DM=12.5，OM=12.5-8=4.5，
∴M（0，-4.5），
綜上所述，M點的坐標為M₁（0，3），M₂（0，-4.5）．
點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、圖形翻折變換的性質及勾股定理、一次函數圖象上點的坐標特點，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．