Question

如圖1，以矩形ABCD的頂點A為原點，AD所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．點D的坐標為（8，0），點B的坐標為（0，6），點F在對角線AC上運動（點F不與點A、C重合），過點F分別作x軸、y軸的垂線，垂足為G、E．設四邊形BCFE的面積為S₁，四邊形CDGF的面積為S₂，△AFG的面積為S₃．
（1）試判斷S₁，S₂的關系，并加以證明；
（2）當S₃：S₂=1：3時，求點F的坐標；
（3）如圖2，在（2）的條件下，把△AEF沿對角線AC所在直線平移，得到△A′E′F′，且A′，F′兩點始終在直線AC上，是否存在這樣的點E′，使點E′到x軸的距離與到y軸的距離比是5：4？若存在，請求出點E′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）兩者應該相等，由于四邊形ADCB是矩形，那么對角線平分矩形的面積，同理OF也平分矩形AEFG的面積，由此就不難得出S₁=S₂了；
（2）S₃：S₂=S₃：S₁=1：3，也就能得出S_△AGF：S_△ADC=1：4，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得出OF：OC=1：2，即F為OC中點．由此可根據C、D的坐標直接求出F的坐標；
（3）由于A′F′始終在OC上，因此EE′所在的直線必平行于OC，可先求出直線EE′的解析式，然后根據E′橫、縱坐標的比例關系來設出E′的坐標，代入直線EE′中即可求出E′的坐標．

解答：解：（1）S₁=S₂；
證明：∵FE⊥y軸，FG⊥x軸，∠BAD=90°，
∴四邊形AEFG是矩形．
∴AE=GF，EF=AG．
∴S_△AEF=S_△AFG，
同理S_△ABC=S_△ACD．
∴S_△ABC-S_△AEF=S_△ACD-S_△AFG．
即S₁=S₂．

（2）∵FG∥CD，
∴△AFG∽△ACD．
∴

S3

S3+S2

=(

FG

CD

)2=(

AG

AD

)2=

1

1+3

=

1

4

．
∴FG=

1

2

CD，AG=

1

2

AD．
∵CD=BA=6，AD=BC=8，
∴FG=3，AG=4．
∴F（4，3）；

（3）∵△A′E′F′是由△AEF沿直線AC平移得到的，且A′、F′兩點始終在直線AC上，
∴點E′在過點E（0，3）且與直線AC平行的直線l上移動．
∵直線AC的解析式是y=

3

4

x，
∴直線L的解析式是y=

3

4

x+3．
設點E′為（x，y），
∵點E′到x軸的距離與到y軸的距離比是5：4，
∴|y|：|x|=5：4．
①當x、y為同號時，得

y= 5 4 x y= 3 4 x+3

解得

x=6 y=7.5

，
∴E′（6，

15

2

）；
②當x、y為異號時，得

y=- 5 4 x y= 3 4 x+3

解得

x=- 3 2 y= 15 8

，
∴E′（-

3

2

，

15

8

）．
∴存在滿足條件的E′坐標分別是（6，

15

2

）、（-

3

2

，

15

8

）．

點評：本題主要考查了矩形的性質、圖形面積的求法、一次函數的應用等知識點．要注意的是（3）題在不確定E′橫、縱坐標的符號時，要分類討論，不要漏解．