Question

26、如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=5．點E是AD上的動點，以CE為直徑的⊙O與BC交于點F，過點F作FG⊥BE于點G．
（1）若FG是⊙O的切線，求DE的長度；
（2）試探究：BE能否與⊙O相切？若能，求出此時DE的長度；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接EF，FD，由GF為圓的切線且又和EB垂直，可知BE∥FD，推出∠BEF=∠DFE，而∠DFE=∠FEC可得∠BEF=∠CEF所以EF為∠BEC的平分線．又因為∠EFC為直角可知EF⊥BC，所以△BEC為等腰三角形，得到BF為BC的一半，又因為ED∥BF，可知四邊形BEDF為平行四邊形，即ED=BF=2.5．
（2）若BE與圓相切，BE必垂直EC，我們可把三角形BEC看作一個圓內接三角形，即BC為直徑，EF為一個半徑，但最短為3＞2.5，所以BE不能與⊙O相切．

解答：解：（1）連接EF，FD；
∵GF為圓的切線且又和EB垂直，
∴BE∥FD，
∴∠BEF=∠DFE；
又∵∠DFE=∠FEC，
∴∠BEF=∠CEF，
∴EF為∠BEC的平分線；
∵∠EFC=90°，
∴EF⊥BC，
∴△BEC為等腰三角形，
∴BF為BC的一半；
∵ED∥BF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
即ED=BF=2.5；

（2）若BE與圓相切，BE必垂直EC；
可把三角形BEC看作一個圓內接三角形，
即BC為直徑，EF為一個半徑，
但最短為3＞2.5，所以BE不能與⊙O相切．

點評：本題考查了圓內接圖形和切線的性質，做題時注意巧妙運用輔助線．