Question

（1）已知MN是一條直線，AB是⊙O的直徑，且AB=2R，設A、B兩點到MN的距離分別為x、y．如圖（1），當直線MN與⊙O相切時，x、y與O點到直線MN的距離d之間的關系為：______；

（2）如圖（2）、圖（3），當直線MN與⊙O相離時，x、y與O點到直線MN的距離d之間的關系為：______；
（3）根據圖（1）、圖（2）、圖（3），你能歸納出什么結論：______；
（4）當直線MN與⊙O相交時，上面歸納的關系是否一定成立？成立時，請寫出證明過程，不成立時，說明理由．（請畫出圖形）

Answer 1

解：（1）根據直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，以及梯形的中位線定理，得
x+y=2d（或2R）；

（2）根據梯形的中位線定理，得x+y=2d；

（3）x+y=2d（此時MN與⊙O相切或相離）；

（4）不一定成立．理由當AB⊥MN時（如圖）．
．
分析：（1）直接根據圖示和條件，可知：當直線MN與⊙O相切時，d是梯形ABNM的中位線，所以x+y=2d；
（2）當直線MN與⊙O相離時y-x=2d=x+y；
（3）同（1）可知歸納出結論：x+y=2d；
（4）當AB⊥MN時這種關系不成立，所以不一定成立．
點評：主要考查了直線與圓的位置關系．要能根據直線與圓的位置關系找到半徑和點到直線距離的關系，并會熟練運用梯形的中位線定理．