Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點E為底AD上一點，將△ABE沿直線BE折疊，點A落在梯形對角線BD上的G處，EG的延長線交直線BC于點F．

（1）點E可以是AD的中點嗎？為什么？

（2）求證：△ABG∽△BFE；

（3）設AD=a，AB=b，BC=c

    ①當四邊形EFCD為平行四邊形時，求a，b，c應滿足的關系；

    ②在①的條件下，當b=2時，a的值是唯一的，求∠C的度數．

Answer 1

考點：

相似形綜合題；根的判別式；根與系數的關系；平行四邊形的性質；直角梯形；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質。

專題：

代數幾何綜合題。

分析：

（1）根據折疊的性質可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根據直角三角形斜邊大于直角邊可得DE＞EG，從而判斷點E不可能是AD的中點；

（2）方法一：根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEB=∠EBF，再根據折疊的性質可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，從而判斷出△FEB為等腰三角形，再根據等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根據等腰三角形的兩個底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根據兩角對應相等，兩三角形相似即可證明；

方法二：與方法一相同求出∠ABG=∠EFB后，根據等腰三角形的兩腰相等，然后根據兩邊對應成比例且夾角相等判斷出兩個三角形相似；

（3）①方法一：根據勾股定理求出BD的長度，再利用兩角對應相等，兩三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解；

方法二：過點D作DH⊥BC于點H，然后求出∠C=∠ABD，再根據直角相等，判斷出△ABD和△HCD相似，根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解；

方法三：先求出△ABD和△GFB相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出BF的長度，再求出△EDG和△FBG相似，根據平行四邊形的對邊相等表示出ED，再表示出DG，然后根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得證；

②方法一：把b=2代入a、b、c的關系式，利用求根公式求出a的兩個根，再根據a是唯一的，可以判定△=c²﹣16=0，然后求出c=4，再代入根求出a=2，然后判斷出H是BC的中點，利用解直角三角形求出∠C=45°；

方法二：把b=2代入a、b、c的關系式，利用根與系數的關系判斷出關于a的方程的解是正數，再根據a是唯一的，可以判定△=c²﹣16=0，然后求出c=4，再代入根與系數的關系求出a=2，然后判斷出H是BC的中點，利用解直角三角形求出∠C=45°．

解答：

解：（1）不是．…1分

據題意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，

∴Rt△EGD中，GE＜ED，

∴AE＜ED，

故，點E不可以是AD的中點；…2分

（注：大致說出意思即可；反證法敘述也可）

（2）方法一：

證明：∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBF，

∵△EAB≌△EGB，

∴∠AEB=∠BEG，

∴∠EBF=∠BEF，

∴FE=FB，

∴△FEB為等腰三角形．

∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，

∴∠ABG=∠EFB，…4分

在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°﹣∠ABG）÷2，

∠FBE=（180°﹣∠EFB）÷2，

∴∠BAG=∠FBE，…5分

∴△ABG∽△BFE，（注：證一對角對應等評2分，第二對角對應等評1分，該小問3分，若只證得△FEB為等腰三角形，評1分．）

方法二：∠ABG=∠EFB（見方法一），…4分

證得兩邊對應成比例：，…5分

由此可得出結論．

（注：兩邊對應成比例，夾角等證得相似，若只證得△FEB為等腰三角形，評1分．）

（3）①方法一：∵四邊形EFCD為平行四邊形，

∴EF∥DC，

證明兩個角相等，得△ABD∽△DCB，…7分

∴，

即，

∴a²+b²=ac；…8分

方法二：如圖，過點D作DH⊥BC，

∵四邊形EFCD為平行四邊形

∴EF∥DC，

∴∠C=∠EFB，

∵△ABG∽△BFE，

∴∠EFB=∠GBA，

∴∠C=∠ABG，

∵∠DAB=∠DHC=90°，

∴△ABD∽△HCD，…7分

∴，

∴，

∴a²+b²=ac；…8分（注：或利用tan∠C=tan∠ABD，對應評分）

方法三：證明△ABD∽△GFB，則有，

∴，則有BF=，…6分

∵四邊形EFCD為平行四邊形，

∴FC=ED=c﹣，

∵ED∥BC，

∴△EDG∽△FBG，

∴，

∴，

∴a²+b²=ac；…8分

②方法一：解關于a的一元二次方程a²﹣ac+2²=0，得：

a₁=，a₂=…9分

由題意，△=0，即c²﹣16=0，

∵c＞0，

∴c=4，

∴a=2…10分

∴H為BC的中點，且ABHD為正方形，DH=HC，∠C=45°；…11分

方法二：設關于a的一元二次方程a²﹣ac+2²=0兩根為a₁，a₂，

a₁+a₂=c＞0，a₁•a₂=4＞0，

∴a₁＞0，a₂＞0，…9分

由題意，△=0，即c²﹣16=0，

∵c＞0，

∴c=4，

∴a=2，…10分

∴H為BC的中點，且ABHD為正方形，DH=HC，∠C=45°．…11分

點評：

本題綜合考查了相似三角形的性質與判定，根的判別式，根與系數的關系，平行四邊形的性質，折疊的性質，綜合性較強，難度較大，需仔細分析，認真研究，結合圖形理清題目邊長之間的關系，角度之間的關系是解題的關鍵，本題對同學們的能力要求較高．