Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O于點A，B，CD交AM，BN于點D，C，DO平分∠ADC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半徑R．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O點作OE⊥CD于點E，通過角平分線的性質得出OE=OA即可證得結論．
（2）過點D作DF⊥BC于點F，根據切線的性質可得出DC的長度，繼而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的長，繼而可得出半徑．
解答：（1）證明：過O點作OE⊥CD于點E，
∵AM切⊙O于點A，
∴OA⊥AD，
又∵DO平分∠ADC，
∴OE=OA，
∵OA為⊙O的半徑，
∴OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：過點D作DF⊥BC于點F，
∵AM，BN分別切⊙O于點A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴AD=BF，AB=DF，
又∵AD=4，BC=9，
∴FC=9-4=5，
∵AM，BN，DC分別切⊙O于點A，B，E，
∴DA=DE，CB=CE，
∴DC=AD+BC=4+9=13，
在Rt△DFC中，DC²=DF²+FC²，
∴DF==12，
∴AB=12，
∴⊙O的半徑R是6．
點評：此題考查了切線的性質、角平分線的性質及勾股定理的知識，證明第一問關鍵是掌握切線的判定定理，解答第二問關鍵是熟練切線的性質，難度一般．