Question

1.問題1  已知：如圖1，三角形ABC中，點D是AB邊的中點，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F，AE，BF交于點M，連接DE，DF．若DE=DF，則的值為_____．

2.拓展

問題2  已知：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點D是AB邊的中點，點M在三角形ABC的內部，且∠MAC=∠MBC，過點M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E，F，連接DE，DF．求證：DE=DF．

3.推廣

問題3  如圖3，若將上面問題2中的條件“CB=CA”變為“CB≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數量關系，并證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

 

1.的值為  1

2.證明：如圖9．

∵CB=CA，

             ∴∠CAB=∠CBA．

             ∵∠MAC=∠MBC，

             ∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，

             即∠MAB=∠MBA．

             ∴MA=MB．

             ∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E，F，

             ∴∠AFM=∠BEM=90°．

   在△AFM與△BEM中，

           ∠AFM=∠BEM，

               ∠MAF =∠MBE，

               MA=MB，

∴△AFM≌△BEM．

∵點D是AB邊的中點，

∴BD = AD．

在△BDE與△ADF中，

           BD = AD，

               ∠DBE =∠DAF，

               BE = AF，

∴△BDE≌△ADF．              

∴DE=DF． 

 

3.解：DE=DF．

證明：分別取AM，BM的中點G，H，連接DG，FG，DH，EH．（如圖10）

∵點D，G，H分別是AB，AM，BM的中點，

∴DG∥BM，DH∥AM，且DG=BM，DH=AM．

∴四邊形DHMG是平行四邊形．

∴∠DHM =∠DGM，

∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E，F，

∴∠AFM=∠BEM=90°．

∴FG=AM= AG，EH=BM= BH． 

∴FG= DH，DG= EH，    ∠GAF =∠GFA，∠HBE =∠HEB．

∴∠FGM =2∠FAM，∠EHM =2∠EBM．

∵∠FAM=∠EBM，

∴∠FGM =∠EHM．

∴∠DGM+∠FGM =∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．

在△EHD與△DGF中，

           EH = DG，

               ∠EHD =∠DGF，

               HD = GF，

∴△EHD≌△DGF．              

∴DE=DF． 

 

【解析】略