Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=9cm，DC=13cm，點P是線段AB上一個動點，設BP為xcm，△PCD的面積為ycm²．
（1）求AD的長；
（2）求y與x之間的函數關系式，并求出當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？
（3）在線段AB上是否存在點P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作BC的垂線，垂足為E，則四邊形ABED是矩形，在Rt△CDE中，由勾股定理可求EC的值，進而可求AD的長；
（2）根據面積公式可求y=S_梯形ABCD-S_△ADP-S_△BCP，代值化簡得y=-x+54（0≤x≤12），
可求當x_min=0時，y_max=54．
（3）有兩種情況：可先證當∠DPC=90°，△PCD為直角三角形時，使得△PAD∽△PBC，代值求得AP=6．或當②∠PDC=90°時，由勾股定理可求x=．
解答：解：（1）作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形，
∴DE=AB=12，
AD=BE，
在Rt△DEC中，EC==5，
∴AD=BC-EC=4．

（2）y=S_梯形ABCD-S_△ADP-S_△BCP
=（4+9）×12-×4×（12-x）-×9x，
∴y=-x+54（0≤x≤12）
∵y隨x的增大而減小，
∴當x_min=0時，y_max=54．

（3）分兩種情況：
①若∠DPC=90°，△PCD為直角三角形，只需∠1+∠2=90°，
即∠1=∠3，
只需△ADP∽△BPC，
只需=，
即=，
解得x₁=x₂=6，此時AP=BP．
∴存在AB中點P，使△PCD為直角三角形．

②∠PDC=90°，則有PD²+DC²=PC²
4²+（12-x）²+13²=x²+9²
解得x=．
綜上，當x=6或時，△PDC為直角三角形．
點評：本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊成比例、對應角相等，可利用數形結合思想根據圖形提供的數據計算對應角的度數、對應邊的比．