Question

在直角坐標系中，拋物線y=x²-2mx+n+1的頂點A在x軸負半軸上，與y軸交于點B，拋物線上一點C的橫坐標為1，且AC=3．
（1）求此拋物線的函數關系式；
（2）若拋物線上有一點D，使得直線DB經過第一、二、四象限，且原點O到直線DB的距離為，求這時點D的坐標．

Answer 1

解：（1）根據題意，畫出示意圖如答圖所示，過點C作CE⊥x軸于點E；

∵拋物線上一點C的橫坐標為1，且AC=3，
∴C（1，n-2m+2），
其中n-2m+2＞0，OE=1，CE=n-2m+2；
∵拋物線的頂點A在x軸負半軸上，
∴A（m，0），
其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m；
由已知得，
由（1）得n=m²-1；（3）
把（3）代入（2），得（m²-2m+1）²+（m²-2m+1）-90=0，
∴（m²-2m+11）（m²-2m-8）=0，
∴m²-2m+11=0（4）或m²-2m-8=0（5）；
對方程（4），
∵△=（-2）²-4×11=-40＜0，
∴方程m²-2m+11=0沒有實數根；
由解方程（5），
得m₁=4，m₂=-2，
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入（3），得n=3，
∴拋物線的關系式為y=x²+4x+4

（2）∵直線DB經過第一、二、四象限；
設直線DB交x軸正半軸于點F，過點O作OM⊥DB于點M，
∵點O到直線DB的距離為，
∴OM=，
∵拋物線y=x²+4x+4與y軸交于點B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∴BM=；
∵OB⊥OF，OM⊥BF，
∴△OBM∽△FOM，
∴，
∴，
∴OF=2BO=8，F（8，0）；
∴直線BF的關系式為y=-x+4；
∵點D既在拋物線上，又在直線BF上，
∴，
解得，
∵BD為直線，
∴點D與點B不重合，
∴點D的坐標為．
分析：（1）欲求拋物線的解析式，需求出m、n的值，根據拋物線的解析式，易得頂點A的坐標，然后將x=1代入拋物線的解析式中，可得點C的坐標，即可根據AC的長得到第一個關于m、n的等量關系式；由于拋物線的頂點在x軸上，即拋物線與x軸只有一個交點，即根的判別式△=0，聯立兩個關于m、n的式子即可求出m、n的值，從而得到該拋物線的解析式．
（2）根據（1）的拋物線解析式可求得點B的坐標，即可得到OB的長；過O作OM⊥BD于M，根據題意可知OM=，進而可利用勾股定理求得BM的長；在△EOF中，OM⊥EF，易證得△OBM∽△FOM，根據相似三角形所得比例線段即可求得OF的長，也就得到了F點的坐標，進而可利用待定系數法求得直線BD的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出點D的坐標．
點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到勾股定理、根的判別式、二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質以及函數圖象交點坐標的求法等重要知識，綜合性強，難度較大．