Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，⊙O為它的內切圓，切點分別是D、E、F．
（I）若AC=4，BC=3，求：△ABC的內切圓的半徑；
（II）若△ABC的內切圓半徑r，△ABC的周長為l，則S_△ABC的值為

1

2

rl

（III）若AD=x，BD=y，求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）根據已知得出四邊形OECF是正方形，根據切線長定理可得：CE=CF=

1

2

（AC+BC-AB），得出內切圓半徑即可；
（2）根據△ABC的內切圓半徑r，△ABC的周長為l，分隔三角形面積得出△ABC的面積即可；
（3）根據AD=x，BD=y，設內切圓半徑為r，則BC=r+y，AC=r+x，斜邊AB=x+y，利用勾股定理得出r，進而得出三角形面積即可．

解答：解：（1）如圖；
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3；
根據勾股定理AB=

AC2+BC2

=5；
四邊形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四邊形OECF是正方形；
由切線長定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF=

1

2

（AC+BC-AB）；
即：r=

1

2

（3+4-5）=1；

（2）由題意，如圖，
連接OE，OD，OF；OA，OB，OC；則：OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC；
∴△ABC的面積=

1

2

AB×OE+

1

2

BC×OD+

1

2

AC×OF
∵OE=OF=OD=r，AB+BC+AC=l，
∴△ABC的面積=

1

2

AB×r+

1

2

BC×r+

1

2

AC×r=

1

2

r（AB+BC+AC）
=

1

2

rl．

（3）假設內切圓半徑為r，則BC=r+y，AC=r+x，斜邊AB=x+y，
用勾股定理：（x+r）²+（y+1）²=（x+y）²，
解得：r=

-x-y± (x+y) 2+4xy

2

，
∴r=

-x-y+ x2+y2+6xy

2

，
∴S_△ABC=

1

2

×AC×BC=

1

2

×（x+

-x-y+ x2+y2+6xy

2

）（y+

-x-y+ x2+y2+6xy

2

）
=

1

2

×

x2+y2+6xy +(x-y)

2

×

x2+y2+6xy -(x-y)

2

=

8xy

8

=xy．

點評：此題主要考查了三角形的內切圓與內心以及直角三角形的性質，解答的關鍵是，充分利用已知條件，將問題轉化為求幾個三角形面積的和．