Question

同學們都學習過《幾何》課本第三冊第199頁的第11題，它是這樣的：
如圖，A為⊙O的直徑EF上的一點，OB是和這條直徑垂直的半徑，BA和⊙O相交于另一點C，過點C的切線和EF的延長線相交于點D，求證：DA=DC．

（1）現將圖1中的直徑EF所在直線進行平行移動到圖2所示的位置，此時OB與EF垂直相交于H，其它條件不變．
①求證：DA=DC；
②當DF：EF=1：8，且DF=

2

時，求AB•AC的值．
（2）將圖2中的EF所在直線繼續向上平行移動到圖3所示的位置，使EF與OB的延長線垂直相交于H，A為EF上異于H的一點，且AH小于⊙O的切線交EF于D，試猜想：DA=DC是否仍然成立？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）①連接OC，利用切線的性質則可得到OC⊥DC，然后得到，∴∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B=∠DAC，利用等角對等邊得到DA=DC即可；
②利用DF：EF=1：8，DF=

2

則可得到EF=8DF=8

2

，然后利用切線長定理求得DC的長，進而得到DC、AD的長，然后利用切線長定理得：AB•AC=AE•AF=24；
（2）結論仍然成立，延長BO交⊙O于K，連CK，利用切線的性質可以得到∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK，從而得到∠DCA=∠BAH，問題得證．

解答：解：（1）①證明：連OC，則OC⊥DC，
∴∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B，
又∠DAC=∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAC=∠DCA∴DA=DC，
②∵DF：EF=1：8，DF=

2

，
∴EF=8DF=8

2

，
又DC為切線，
∴DC²=DF•DE=

2

×9

2

=18，
∴DC=3

2

，
∴AD=DC=3

2

，
∴AF=AD-DF=2

2

，
∴AE=EF-AF=6

2

，
∴AB•AC=AE•AF=24；

（2）結論DA=DC仍然成立，理由如下：
延長BO交⊙O于K，連CK，則∠KCB=90°，
又DC為⊙O的切線，
∴∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK，
又∠BAH=90°-∠HBA，
而∠CBK=∠HBA，
∴∠DCA=∠BAH，
∴DA=DC．

點評：本題考查了切線的性質、垂徑定理及切割線定理的內容，是一道比較復雜的切線的性質的綜合題，難度較大．