Question

在直角坐標系中，⊙A的半徑為4，圓心A的坐標為（2，0），與x軸交于E、F兩點，與y軸交于C、D兩點，過點C作⊙A的切線BC，交x軸于B．
（1）求直線CB的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c的頂點在直線BC上，與x軸交的點恰為⊙A與x軸的交點，求該拋物線的解析式；
（3）試判斷C是否在拋物線上？

Answer 1

分析：（1）連接AC，根據圓的半徑求出AC，根據點A的坐標求出OA，然后利用勾股定理列式求出OC，從而得到點C的坐標，再求出∠CAO=60°，然后根據直角三角形兩銳角互余求出∠B=30°，再根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長度，然后求出OB，從而得到點B的坐標，設直線BC的解析式為y=kx+b，然后利用待定系數法求函數解析式解答即可；
（2）根據圓的性質求出點E（-2，0）、F（6，0），然后設交點式拋物線解析式為y=a（x+2）（x-6），再根據拋物線的對稱性確定頂點的橫坐標為2，利用頂點在直線BC上求出縱坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（3）把點C坐標代入拋物線解析式驗證即可．

解答：解：（1）如圖，連接AC，∵⊙A的半徑為4，圓心A的坐標為（2，0），
∴AC=4，OA=2，
在Rt△ACO中，OC=

AC2-OA2

=

42-22

=2

3

，
∴點C的坐標為（0，2

3

），
∵cos∠CAO=

OA

AC

=

2

4

=

1

2

，
∴∠CAO=60°，
∴∠B=90°-∠CAO=90°-60°=30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
∴OB=AB-OA=8-2=6，
∴點B的坐標為（-6，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則

-6k+b=0 b=2 3

，
解得

k= 3 3 b=2 3

，
所以，直線BC的解析式為y=

3

3

x+2

3

；

（2）∵⊙A的半徑為4，圓心A的坐標為（2，0），
∴點E（-2，0）、F（6，0），
∵拋物線經過點E、F，
∴頂點的橫坐標為2，
∵頂點在直線BC上，
∴頂點縱坐標為

3

3

×2+2

3

=

8 3

3

，
∴頂點坐標為（2，

8 3

3

），
設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-6），
∴a（2+2）（2-6）=

8 3

3

，
解得a=-

3

6

，
∴y=-

3

6

（x+2）（x-6），
即y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

；

（3）當x=0時，y=2

3

，
所以，點C（0，2

3

）在拋物線上．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了圓的對稱性，勾股定理，待定系數法求函數解析式（包括一次函數解析式，二次函數解析式），二次函數圖象上點的坐標特征，難度不大，（2）利用交點式解析式求拋物線解析式更加簡便．