Question

【題目】如圖，反比例函數（x＞0）的圖象經過點A（2 ，1），直線AB與反比例函數圖象交與另一點B（1，a），射線AC與y軸交于點C，∠BAC=75°，AD⊥y軸，垂足為D．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）求tan∠DAC的值及直線AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數為y=（x＞0）；（2）tan∠DAC=；直線AC的解析式為y=x﹣1.

【解析】

試題（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征易得k=2， 從而求得反比例函數解析式；

（2）作BH⊥AD于H，如圖，根據反比例函數圖象上點的坐標特征確定B點坐標為（1，2），確定AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判斷△ABH為等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根據特殊角的三角函數值得tan∠DAC=；由于AD⊥y軸，則OD=1，AD=2， 然后在Rt△OAD中利用正切的定義可計算出CD=2，易得C點坐標為（0，﹣1），于是可根據待定系數法求出直線AC的解析式為y=x﹣1.

試題解析：（1）由反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點A（2，1），得：k=2×1=2，

∴反比例函數為y=（x＞0）；

（2）作BH⊥AD于H，如圖，

把B（1，a）代入反比例函數解析式y=（x＞0），得a=2，

∴B點坐標為（1，2），

∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，

∴△ABH為等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∴tan∠DAC=tan30°=；

∵AD⊥y軸，

∴OD=1，AD=2，

∵tan∠DAC==，

∴CD=2，

∴OC=1，

∴C點坐標為（0，﹣1），

設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（2，1）、C（0，﹣1）代入

得 ，解得：，

∴直線AC的解析式為y=x﹣1；