Question

在直角坐標系內，等腰直角三角形A₁B₁O、A₂B₂B₁、A₃B₃B₂、…、A_nB_nB_n-1按如圖所示的方式放置，其中點A₁、A₂、A₃、…、A_n均在一次函數y=kx+b的圖象上，點B₁、B₂、…、B_n、均在x軸上．若點B₁的坐標為（1，0），點B₂的坐標為（3，0），點A_n的坐標為________．

Answer 1

（2^n-1-1，2^n-1）
分析：首先，根據等腰直角三角形的性質求得點A₁、A₂的坐標；然后，將點A₁、A₂的坐標代入一次函數解析式，利用待定系數法求得該直線方程是y=x+1；最后，利用等腰直角三角形的性質推知點B_n-1的坐標，然后將其橫坐標代入直線方程y=x+1求得相應的y值．
解答：如圖，∵點B₁的坐標為（1，0），點B₂的坐標為（3，0），
∴OB₁=1，OB₂=3，則B₁B₂=2．
∵△A₁B₁O是等腰直角三角形，∠A₁OB₁=90°，
∴OA₁=OB₁=1．
∴點A₁的坐標是（0，1）．
同理，在等腰直角△A₂B₂B₁中，∠A₂B₁B₂=90°，A₂B₁=B₁B₂=3，則A₂（1，2）．
∵點A₁、A₂均在一次函數y=kx+b的圖象上，
∴，
解得，，
∴該直線方程是y=x+1．
∵點A₃，B₂的橫坐標相同，都是3，
∴當x=3時，y=4，即A₃（3，4），則A₃B₂=4，
∴B₃（7，0）．
同理，B₄（15，0），
…
B_n（2ⁿ-1，0），
∴當x=2^n-1-1時，y=2^n-1-1+1=2^n-1，
即點A_n的坐標為（2^n-1-1，2^n-1）．
點評：本題考查了一次函數綜合題．其中涉及到的知識點有待定系數法求一次函數解析式，一次函數圖象上點的坐標特征以及等腰直角三角形的性質．解答該題的難點是找出點B_n的坐標的規律．