Question

已知函數S=|x-2|+|x-4|
（1）求S的最小值；
（2）若對任何實數x、y都有s≥m（-y²+2y）成立，求實數m的最大值．

Answer 1

分析：（1）可理解為數軸一個點上到點2和點4距離之和，從而可求出最小值．
（2）先確定-y²+2y的最大值，進而討論m的值，使滿足對任何實數x、y都有s≥m（-y²+2y）成立，從而可得出答案．

解答：解：（1）由絕對值的幾何意義可得，數軸上一個點到點2和點4距離之和最小值為：4-2=2；
（2）∵-y²+2y=-（y-1）²+1，
∴當y=1時，有最大值1；
∵當m＜0時，不可能對任意實數y有m（-y²+2y）≤2，總成立，
∴m≥0，
又∵-y²+2y的最大值為1，
∴2≥m×1，即m≤2，
綜上可得0≤m≤2，
即m的最大值為2．

點評：此題考查了含絕對值的函數的最值，解答第一題的關鍵是理解絕對值的結合意義，解答第二題的關鍵是掌握二次函數的最值的求法，有一定難度，注意分步計算．