Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點A在x軸的正半軸上，BC與y軸交于點D，點C的坐標為（-3，4）。
【小題1】點A的坐標為 ▲  ；
【小題2】求過點A、O、C的拋物線解析式，并求它的頂點坐標；
【小題3】在直線AB上是否存在點P，使得以點A、O、P為頂點的三角形與△COD相似。若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【小題1】∵OABC為菱形，
∴BC∥OA，OC=OA=BC，
∴OD⊥BC，
∵C（-3，4），
∴CD=3，OD=4，
∴OC==5，
∴A（5，0），
【小題2】設拋物線的解析式為，
它經過點A（5，0）和點C（-3，4），則    …………………… 4分
解得  ∴   ……………………………………… 6分
∵，∴線的頂點坐標為。…………………………  8分
【小題3】因為∠OCD=∠OAB，∠ODC=90°，OC=5，OD=4，CD=3，所以…………  9分
①當∠AOP=∠ODC=90°（點P在y軸上）時,△APO∽△COD。可得
，即，PO=，此時P（0，）…………………… 11分
②當∠OPA=∠ODC=90°時，△AOP≌△COD，OP=OD=4。
過點P作PM⊥x軸，垂足為M，由可得PM=，OM=。
此時P（）………………………………………………………………  13分
綜上所述，存在點符合要求的點P，它的坐標為（0，）或（）…14分解析:
（1）由菱形的性質得OC=OA=BC，則OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出點A的坐標，
（2）設拋物線的解析式為，把點A（5，0）和點C（-3，4）代入列方程組求解
（3）分兩種情況進行討論，①當∠AOP=∠ODC=90°（點P在y軸上）時,△APO∽△COD。②當∠OPA=∠ODC=90°時，△AOP≌△COD，OP=OD=4。