Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=1，與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間（包括這兩點），下列結論：
①當x＞3時，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣ ；④4ac﹣b2＞8a；
其中正確的結論是（ ）

A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.①②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①由拋物線的對稱性可求得拋物線與x軸令一個交點的坐標為（3，0），當x＞3時，y＜0，故①正確；
②拋物線開口向下，故a＜0，
∵x=﹣ =1，
∴2a+b=0．
∴3a+b=0+a=a＜0，故②正確；
③設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），則y=ax2﹣2ax﹣3a，
令x=0得：y=﹣3a．
∵拋物線與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間，
∴2≤﹣3a≤3．
解得：﹣1≤a≤﹣ ，故③正確；
④．∵拋物線y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間，
∴2≤c≤3，
由4ac﹣b2＞8a得：4ac﹣8a＞b2 ，
∵a＜0，
∴c﹣2＜
∴c﹣2＜0
∴c＜2，與2≤c≤3矛盾，故④錯誤．
故選：B．
①先由拋物線的對稱性求得拋物線與x軸令一個交點的坐標為（3，0），從而可知當x＞3時，y＜0；
②由拋物線開口向下可知a＜0，然后根據x=﹣ =1，可知：2a+b=0，從而可知3a+b=0+a=a＜0；
③設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），則y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0得：y=﹣3a．由拋物線與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間，可知2≤﹣3a≤3．④由4ac﹣b2＞8a得c﹣2＜0與題意不符．