Question

如圖已知在⊙O中，直徑AB=10，點E是OA上任意一點，過E作弦CD⊥AB，點F是弧BC上一點，連接AF交CE于H，連接AC、CF、BF．
（1）請你找出圖中的相似三角形，并對其中的一對相似三角形進行證明；
（2）若AE：BE=1：4，求CD長．
（3）在（2）的條件下，求AH×AF的值．

Answer 1

解：（1）△ACH∽△AFC，△AEH∽△AFB；
說明理由：∵AB是直徑，AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，
∴∠ACH=∠AFC，
∵∠CAH=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC．

（2）解：∵CD⊥AB，連接OC，AB=10，AE：BE=1：4，
∴AE=2，則OE=3，OC=5，
在Rt△OCE中，由勾股定理得，CE=4，
∴由垂徑定理得：CD=2CE=8．

（3）∵△ACH∽△AFC，
∴，
∴AC²=AH×AF，
∴Rt△ACE中，由勾股定理得AC²=2²+4²=20，
∴AH×AF=20．
分析：（1）根據垂徑定理求出弧AC=弧AD，推出∠ACH=∠AFC即可；推出∠AFB=∠AEH=90°，即可推出△AEH∽△AFB；
（2）連接OC，求出OE、OC的值，根據勾股定理求出CE，根據垂徑定理得出CD=2CE即可；
（3）由相似得出比例式，推出AC²=AH×AF，由勾股定理求出AC即可．
點評：本題考查了勾股定理，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的性質和判定等知識點的應用，關鍵是熟練地運用定理進行推理和計算，題型較好，綜合性比較強，但難度不大．