Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C為半圓上的三等分點，在直徑AB所在的直線上找一點P，連接CP交⊙O于點Q，使PQ=OQ，則∠CPO=

20°或40°或100°

．

Answer 1

分析：已知如圖，連接OC，根據條件可得：∠A0C=60°，設∠CPO=x°，由隱藏條件：OQ=OC可得∠OCQ=∠CQO，再利用三角形外角和定理可建立關于x的方程，求出x的值即可得問題答案，本題還有其他兩種情況，解答過程同上．

解答：解：①當P在直線AB延長線上時，如圖所示：
連接OC，
設=x°，
∵PQ=OQ，
∴∠OQP=∠CPO=x°，
∴∠CQO=2x°，
∵OQ=OC，
∴∠OCQ=∠CQO=2x°，
∵點C為半圓上的三等分點，
∴∠AOC=60°，
∴x+2x=60，
∴x=20°，
∴∠CPO=20°，
②當P在直線BA延長線上時，∠CPO=40°；
③當P在線段AB上時，∠CPOO=100°，
故答案為：20°或40°或100°

點評：本題考查了圓心角和所對弧之間的數量關系和三角形的外角和定理，根據n°的圓心角對著n°的弧以及一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，得圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半即可解決問題．