Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 點E在下底邊BC上，點F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，試用含x的代數式表示△BEF的面積；

（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；

（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）由已知條件得：梯形周長為12，高4，面積為28。

過點F作FG⊥BC于G  ，過點A作AK⊥BC于K，則可得：FG=×4

∴S△BEF=BE?FG=－x²+x（7≤x≤10）    

（2）存在                                           

由（1）得：－x²+x=14得x₁=7       x₂=5（不合舍去）

∴存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE=7

（3）不存在                                        

假設存在，顯然是：S_△BEF∶S_AFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2

則有－x²+x=，整理得：3x²－24x+70=0，△=576－840<0

∴不存在這樣的實數x。

即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積。

同時分成1∶2的兩部分