Question

如圖，矩形CDEF是由矩形ABCG（AB＜BC）繞點C順時針旋轉90°而得，∠APE的頂點在線段BD上移動，則能夠使∠APE為直角的點P的個數是

2

．

Answer 1

分析：要判斷直角頂點的個數，只要判定以AE為直徑的圓與線段BD的位置關系即可，相交時有2個點，相切時有1個，外離時有0個，不會出現更多的點．

解答：解：設兩個矩形的長是a，寬是b．連接AE，如圖在△AEM中，
根據勾股定理可得：
AE²=（a+b）²+（a-b）²=2a²+2b²；
過AE的中點M作MN⊥BD于點N．則MN是梯形ABDE的中位線，
則MN=

1

2

（a+b）；
以AE為直徑的圓，半徑是：

2(a2+b2)

2

．

1

2

（a+b）=

1

2

a+

1

2

b≤

2(a2+b2)

2

，
而只有a=b是等號才成立，

a2+b2

2

因而

1

2

（a+b）＜

2(a2+b2)

2

，
即圓與直線BD相交，則直角頂點P的位置有兩個．
故答案是：2．

點評：本題主要是根據直徑所對的圓周角是直角，把判定頂點的個數的問題，轉化為直線與圓的位置關系的問題來解決．